5.1 Задание плоскости

Плоскость задается тремя произвольными точками, не принадле­жащими одной прямой. Плоскость в пространстве можно задать:

· тремя точками, не лежащими на одной прямой (рисунок 5.1, а);

· прямой и не принадлежащей ей точкой (рисунок 5.1, б );

· двумя пересекающимися прямыми (рисунок 5.1, в );

· двумя параллельными прямыми (рисунок 5.1, г );

· любой плоской фигурой (рисунок 5.1, д ).

Рисунок 5.1

Каждый из перечисленных способов задания плоскости допускает переход к любому другому, т.к. положение прямой в плоскости опре­деляется двумя ее точками или одной точкой и направлением этой прямой.

Часто применяется способ задания плоскости с помощью прямых линий (взаимно пересекающихся или параллельных), по которым данная плоскость пересекается с плоскостями проекций П 1 П 2 , П 3 . Кроме этого- это задание плоскости следами, при этом сохраняется наглядность изображения (рисунок 5.2).

Рисунок 5.2

5.2 Следы плоскости.

Линия пересечения рассматриваемой плоскости с плоскостью проекций (П 1 , П 2 , П 3 ) называется следом плоскости. Иными словами, след плоскости - это прямая, лежащая в плоскости проекций. Следу присваивается наименование той плоскости проекций, которой он принадлежит. Например, горизонтальный след получен при пересече­нии заданной плоскости с плоскостью П 1 и обозначается , фрон­тальный - с плоскостью П 2 (), профильный - с плоскостью П 3 (). Два следа одной и той же плоскости пересекаются на оси про­екции в точке, называемой точкой схода следов. Каждый из следов плоскости совпадает со своей одноименной проекцией, остальные проекции оказываются лежащими на осях. Например, горизонтальный след плоскости Σ(рисунок 5.2) совпадает со своей горизонтальной проек­цией , фронтальная его проекция находится на оси х , а профильная на оси у. По расположению следов плоскости можно судить о по­ложении данной плоскости в пространстве относительно плоскостей проекций П 1 ,П 2 , П 3 .

5.3 Положение плоскости относительно плоскостей проекций

Любая, произвольно взятая в пространстве плоскость, может за­нимать общее или частное положение. Плоскостью общего положения называется плоскость, которая не перпендикулярна ни к одной из плоскостей проекций (см. рисунок 5.2). Все остальные плоскости (кроме плоскостей проекций) относятся к плоскостям частного положения и подразделяются на проецирующие плоскости и плоскости уровня. |Проецирующей называется плоскость, перпендикулярная к одной
из плоскостей проекций. Например, горизонтально-проецирующая плоскостьперпендикулярна к горизонтальной плоскости проекции П 1 (рисунок 5.3).

Рисунок 5.3

Горизонтальные проекции всех геометрических образов (точек, прямых, фигур), лежащих в этой плоскости, совпадают с горизон­тальным следом 1 . Угол, который образуется между плоскостями и П 2 , проецируется на П 1 без искажения. Фронтальный след 2 пер­пендикулярен к оси x.

Фронтально-проецирующая плоскость () перпендикулярна к фронтальной плоскости П 2 показана на рисунке 5.4. Фронтальные проекции всех геометрических образов (точек, пря­мых, фигур), лежащих в этой плоскости, совпадают с фронтальным следом плоскости 2 . Угол , который образуется между заданной плоскостью и П 1 , проецируется на П 2 без искажения. Горизонталь­ный след плоскости 1 перпендикулярен к оси x.

Рисунок 5.4

Профильно-проецирующая плоскость Т (T 1 , T 2) перпендикулярна к профильной плоскости проекции П 3 (рисунок 5.5).

Рисунок 5.5

Профильные проекции всех геометрических образов (точек, прямых, фигур), лежащих в этой плоскости, совпадают с профильным следом плоскости Т 3 . Углы и , которые образуются между задан­ной плоскостью и плоскостями проекций П 1 и П 2 (= T^П 1 ; = Т^П 2 ), проецируются на плоскость П 3 без искажений. Горизон­тальный и фронтальный следы плоскости параллельны оси х.

Профильно-проецирующая плоскость может проходить через ось x: (рисунок 5.6).

Рисунок 5.6

Следы этой плоскости 1 = 2 совпадают друг с другом и с осью x, поэтому не определяют положение плоскости. Необходимо кроме следов задать в плоскости точку (рисунок 5.6). В частном случае эта плос­кость может быть биссекторной плоскостью. Угол ° = °, а точка А равноудалена от плоскостей проекций П 1 и П 2 . Плоскостью уровня называется плоскость, перпендикулярная од­новременно к двум плоскостям проекций и параллельная третьей. Та­ких плоскостей три разновидности (рисунок 5.7):

· горизонтальная плоскость уровня перпендикулярна к П 2 , П 3 и параллельна П 1 (рисунок 5.7, а);

· фронтальная плоскость уровня перпендикулярна к П 1 ,П 3 и па­раллельна П 2 (рисунок 5.7, б);

· профильная плоскость уровня перпендикулярна к П 1 , П 2 и параллельна П 3 (рисунок 5.7 в ).

Рисунок 5.7

Из определения плоскостей уровня следует, что одна из проекций точки, линии, фигуры, принадлежащих этим плоскостям, будет совпадать с одноименным следом плоскости уровня, а другая проекция будет натуральной величиной этих геометрических образов.

5.4 Признаки принадлежности точки и прямой плоскости

Для определения принадлежности точки и прямой плоскости, расположенной в пространстве, следует руководствоваться следующими положениями:

· точка принадлежит плоскости, если через нее можно провести линию, лежащую в плоскости;

· прямая принадлежит плоскости, если она имеет с плоскостью хотя бы две общие точки;

· прямая принадлежит плоскости, если она проходит через точку данной плоскости параллельно прямой, принадлежащей этой плоскости.

Через одну точку на плоскости можно провести бесконечное мно­жество линий. Это могут быть произвольные линии и линии, зани­мающие особое положение по отношению к плоскостям проекций П 1 П 2 , П 3 . Прямая, принадлежащая рассматриваемой плоскости, прове­денная параллельно горизонтальной плоскости проекций, называется горизонталью плоскости.

Прямая, принадлежащая рассматриваемой плоскости, проведенная параллельно фронтальной плоскости проекций, называется фронталью плоскости.

Горизонталь и фронталь являются линиями уровня.

Горизонталь плоскости следует начинать строить с фронтальной проекции, т.к. она параллельна оси x , горизонтальная проекция гори­зонтали параллельна горизонтальному следу плоскости.

А так как все горизонтали плоскости параллельны между собой, можно считать горизонтальный след плоскости нулевой горизонталью (рисунок 5.8).

Фронталь плоскости следует начинать строить с горизонтальной проекции, т.к. она параллельна оси x, фронтальная проекция фронтали параллельна фронтальному следу. Фронтальный след плоскости - нулевая фронталь. Все фронтали плоскости параллельны между собой (рисунок 5.9).

Рисунок 5.8

Рисунок 5.9

К линии уровня относится и профильная прямая, лежащая в за­данной плоскости и параллельная П 3 .

К главным линиям особого положения в плоскости, кроме линии уровня, относятся линии наибольшего наклона плоскости к плоскости проекций.

5.5 Определение угла наклона плоскости к плоскостям проекций

Плоскость общего положения, расположенная в пространстве произвольно, наклонена к плоскостям проекций. Для определения величины двухгранного угла наклона заданной плоскости к какой-либо плоскости проекции используются линии наибольшего наклона плоскости к плоскости проекций: к П 1 - линия ската, к П 2 - линия наибольшего наклона плоскости к плоскости П 2 .

Линии наибольшего наклона плоскости - это прямые, образующие с плоскостью проекций наибольший угол, проводятся в плоскости перпендикулярно к соответствующей линии уровня. Линии наибольшего наклона и ее соответствующая проекция образуют линейный угол, которым измеряется величина двухгранного угла, составленного данной плоскостью и плоскостью проекций (рисунок 5.10).

Взаимное расположение прямой линии и плоскости

Во втором случае прямая а - фронтально-проецирующая . Поэтому фронтальные проекции любой ее точки, а также и искомой К пересечения а с плоскостью a (АВС), совпадает с ее вырожденной проекцией a " совпадает с К " . Построение горизонтальной проекции К " точки К выполняется из условия принадлежности точки К плоскости a : точка К принадлежит плоскости a , так как она принадлежит ее прямой A1 (К " находится как точка пересечения прямой A " 1 " с прямой а " ). Видимость прямой а в этих задачах решается просто - с помощью реконструкции данных образов (по наглядности).

В третьем, общем, случае построение искомой точки К пересечения прямой а с плоскостью a (c// d ) выполнено по описанному алгоритму.
1) прямую а заключают во вспомогательную горизонтально проецирующую плоскость- посредник S(S " ) ;
2) строят прямую m пересечения плоскостей a (c// d) и S(S " ) . На чертеже это отразится записью Фронтальную проекцию m "" строят из условия ее принадлежности данной плоскости a (m и a имеют общие точки 1 и 2 );
3) находят точку K "" , как результат пересечения a "" с m "" , а K " строят по принадлежности прямой m " . Точка K (K "" ,K " ) - искомая точка пересечения прямой a с плоскостью a (c// d) .

Задачу заканчивают определением видимости прямой по правилу конкурирующих точек. Так, на плоскости Н видимость определена с помощью горизонтально конкурирующих точек 1 и где точка 1 принадлежит плоскости a , а точка 3 - прямой a . Точка 3 расположена над точкой 1 , поэтому точка 3 и прямая a в этом участке на плоскости Н будет видима.
На фронтальной плоскости видимость может быть определена или с помощью пары фронтально-конкурирующих точек, или по реконструкции данных образов (при восходящей плоскости видимость одинаковая на плоскостях Н и V ).

Определение линии пересечения двух плоскостей общего положения

Рассмотрим решение этой задачи на плоском чертеже.

1-й этап решения Для построения точки M использована горизонтально проецирующая плоскость - посредник a (a " ), в которую заключена сторона AB треугольника ABC . 2-й этап решения Строим линию пересечения (на чертеже она задана точками 1 и 2 ) плоскости-посредника a (a " ) и плоскости DEK . 3-й этап решения Находим точку M пересечения прямой 1 - 2 с прямой AB . Найдена одна точка M искомой линии пересечения. Для построения точки N использована горизонтально проецирующая плоскость b (b " ), в которую заключена сторона AC треугольника ABC . Построения аналогичны предыдущим.

Принадлежность прямой плоскости :

2) прямая принадлежит плоскости, если она проходит через точку, принадлежащую данной плоскости и параллельна какой-нибудь прямой этой плоскости.

Из этих двух признаков принадлежности прямой плоскости можно сделать следующие выводы:

1) если плоскость задана следами, то прямая принадлежит плоскости, если следы прямой лежат на одноименных следах плоскости;

2) прямая принадлежит плоскости, если она с одним следом плоскости имеет общую точку, а другому следу параллельна.

Рассмотрим плоскость Q, общего положения, задана следами (рисунок 17). Прямая NM принадлежит этой плоскости, поскольку ее следы лежат на одноименных следах плоскостей.

На рисунке 18 показана плоскость, заданная пересекающимися прямыми t и n. Чтобы построить прямую, лежащую в этой плоскости, достаточно провести произвольно одну из проекций, например, горизонтальную c1, а затем спроецировать точки пересечения этой прямой с прямыми плоскости на фронтальную плоскость. Фронтальная проекция прямой c2 пройдет через полученные точки.

Рисунок 17 Рисунок 18

Согласно второму положению на рисунке 19 построена прямая h, принадлежащая плоскости Р, - она имеет точку N (N1, N2) общую с плоскостью Р и параллельна прямой, лежащей в плоскости - горизонтальному следу Р1.

Рисунок 19 Рисунок 20

Рассмотрим плоскости частного положения. Если прямая или фигура принадлежит горизонтально-проецирующей плоскости (рисунок 20), то горизонтальные проекции этих геометрических элементов совпадают с горизонтальным следом плоскости.

Если прямая или плоская фигура принадлежит фронтально-проецирующей плоскости, то фронтальные проекции этих геометрических элементов совпадают с фронтальным следом плоскости.

Принадлежность точки плоскости:

Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит прямой, лежащей в этой плоскости.

Пример: Дана плоскость Р (a || b). Известна горизонтальная проекция точки В, принадлежащей плоскости Р. Найти фронтальную проекцию точки В (рисунок 21).

На рисунках 22, 23, 24 показано фрагментарно решение этой задачи:

1) проведем через В1 (известную проекцию точки В) любую прямую,

лежащую в плоскости Р, - для этого прямая должна иметь с плоскостью две общие точки. Отметим их на чертеже - М1 и K1;

2) построим фронтальные проекции этих точек по принадлежности точек прямым, т. е. М2 на прямой а, K2 на прямой b. Проведем через фронтальные проекции точек фронтальную проекцию прямой;

Рисунок 21 Рисунок 22

Чтобы прямая лежала в данной плоскости, необходимо, чтобы эта прямая имела с плоскостью две общие точки, которые и определят эту прямую.
Возьмем на данных прямых две произвольно расположенные точки Е и F (Е 1 Е 2 и F 1 F 2 ) и проведем через них прямую k (k 1 и k 2 ). Эта прямая будет расположена в данной плоскости, так как она имеет с ней две общие точки (фиг.232,б).
Изображение на комплексном чертеже прямой, расположенной в плоскости, заданной следами:
а) Возьмем на следах k и L произвольно точки М (М 1 М 2 ) и N (N 1 N 2 ) как следы прямой (фиг.233,а).
б) Проведем через одноименные фронтальные (М 2 и N 2 ) и горизонтальные (М 1 и N 1 ) проекции точек М и N прямые (фиг.233,б).
Прямая MN будет расположена в плоскости а как имеющая с ней две общие точки.
Отсюда следует: для того чтобы прямая принадлежала плоскости, надо, чтобы следы прямой лежали на одноименных следах этой плоскости.

Прямая лежит в плоскости, если имеет с ней одну общую точку и параллельна прямой, лежащей в плоскости. Пусть задана плоскость (фиг.234,а) прямой АВ (А 1 В 1 и A 2 В 2 ) и точкой С (C 1 C 2 ).
Требуется в заданной плоскости провести прямую через заданную точку С .
Проведем через точку С (С 1 С 2 ) прямую параллельно прямой АВ (А 1 В 1 и А 2 В 2 ); эта прямая будет расположена в данной плоскости, так как она имеет с плоскостью общую точку и параллельна прямой, лежащей в данной плоскости (фиг.234,б).
Изображение на комплексном чертеже прямой , расположенной в плоскости и параллельной одному из следов плоскости. Для проведения прямой в заданной следами плоскости а общего положения (прямая должна быть параллельна горизонтальному следу k данной плоскости), возьмем на следе L произвольную точку N (N 1 N 2 ) как точку, лежащую в данной плоскости а (фиг.235,а).
След k принимаем за прямую, лежащую в плоскости П 1 Проведем прямую через точку N 1 параллельно прямой k 1 получим горизонтальную проекцию h 1 прямой h . Фронтальная проекция h 2 прямой h пройдет через точку N 2 и расположится параллельно оси х 12 как прямая, параллельная плоскости П 1 (фиг.235,б).
Прямая h будет принадлежать плоскости а , как имеющая с ней общую точку (след N ) и параллельная прямой (следу к ), лежащей в данной плоскости.
Аналогичное построение будет справедливо и для случая, когда требуется провести прямую в заданной следами плоскости общего положения параллельно фронтальному следу L (фиг.235,в и г).
Прямая h , лежащая в плоскости а , параллельная горизонтальной плоскости проекций П 1 , называется горизонталью данной плоскости (фиг.235,а и б).
Прямая f , лежащая в плоскости а , параллельная фронтальной плоскости проекций П 2 , называется фронталью данной плоскости (фиг.235,в и г).
Отсюда следует, что через всякую точку, лежащую в данной плоскости, можно провести одну горизонталь и одну фронталь. Разобрав различные изображения прямой в плоскости, можно на комплексном чертеже решить обратную задачу, т. е., имея проекции прямой, провести через нее соответствующую плоскость.

Пример 1. Через данный отрезок АВ (А 1 В 1 А 2 В 2 ) провести плоскость общего положения и показать проекции следов этой плоскости (фиг. 236,а).
Зная, что следы прямой должны лежать на одноименных следах плоскости, сначала находим следы прямой, затем выбираем в произвольном месте на оси х 12 точку F 12 схода следов (фиг. 236,б) и, наконец, проводим следы плоскости общего положения (фиг. 236,в).

Пример 2. Через данный отрезок АВ (А 1 В 1 , А 2 В 2 ) провести горизонтально - проектирующую плоскость и показать ее проекцию.
Так как в этом случае горизонтальная проекция прямой должна сливаться с горизонтальной проекцией плоскости, проводим горизонтальную проекцию σ 1 плоскости через горизонтальную проекцию прямой (фиг. 237).
Точка в плоскости. В случае изображения на комплексном чертеже проекций точки, лежащей в данной плоскости, сначала проводят в плоскости вспомогательную прямую, а затем на ней изображают точку.
а) Построить проекции произвольной точки A , принадлежащей плоскости а , заданной следами (фиг.238,а).
Воспользуемся фронталью данной плоскости а как прямой, лежащей в плоскости. Спроектируем одну из фронталей плоскости а , например f (f 1 , f 2 ) (фиг.238,б).
Затем на фронтали проектируем произвольную точку, которую принимаем за заданную точку А (А 1 A 2 ) (фиг.238,в).
Так как обе проекции А 1 и А 2 точки А лежат на проекциях фронтали f плоскости а , то, следовательно, точка А лежит в заданной плоскости а .
Таким же способом можно выполнить построение, воспользовавшись горизонталью h (фиг.238,г)
б) Пусть плоскость задана двумя пересекающимися прямыми АВ (A 1 B 1 , A 2 A 2 ) и ВС (B 1 C 1 , В 2 С 2 ), требуется найти проекции D 1 и D 2 точки D лежащей в заданной плоскости вне этих прямых (фиг.239,а). Зная, что проекции точки должны лежать на проекциях прямой, принадлежащей данной плоскости, проводим вспомогательную прямую EF (E 1 F 1 , E 2 F 2 ) так, чтобы она лежала в данной плоскости (фиг.239,б). Затем на прямой EF (фиг.239,в) проектируем точку D (D 1 D 2 ).

Так как точка D (D 1 D 2 ) лежит на прямой EF (E 1 F 1 , E 2 F 2 ), находящейся в заданной плоскости, следовательно, она принадлежит заданной плоскости.
в) Пусть плоскость σ задана фронтальной проекцией σ 2 . Требуется построить проекции произвольной точки А , принадлежащей данной плоскости.
Так как плоскость σ - фронтально - проектирующая, то по свойству проектирующих плоскостей фронтальная проекция точки, лежащей в этой плоскости, должна сливаться с фронтальной проекцией данной плоскости.
Спроектируем произвольную точку А так, чтобы фронтальная проекция A 2 точки лежала на проекции σ 2 , это и определит, что точка A (A 1 A 2 ) лежит в заданной плоскости (фиг.240).
Такое построение будет справедливо и для остальных проектирующих плоскостей.
Рассмотрим несколько примеров.
Пример I . Дан треугольник AВС (А 1 В 1 С 1 , A 2 B 2 C 2 ) и произвольно расположенная точка D (фиг.241,а); требуется определить, лежит ли точка D (D 1 D 2 ) в плоскости данного треугольника? Порядок проверки указан цифрами на (фиг.241,б).
1 - проводим через точки С 2 и D 2 прямую, получаем точку K 2 ;
2 - проводим вертикальную линию связи, получаем точку К 1 ;
3 - проводим через точки С 1 и К 1 прямую; в данном случае она прошла через точку Ьъ следовательно, точка D (D 1 D 2 ) лежит на прямой СК (С 1 К 1 , С 2 K 2 ), так как ее проекции лежат на проекциях этой прямой и на одной линии связи; прямая СК принадлежит плоскости треугольника ABC (A 1 B 1 C 1 , А 2 В 2 С 2 ), так как имеет с ней две общие точки; следовательно, точка D принадлежит плоскости треугольника.
Пример II . Дан треугольник ABC и расположенная произвольно прямая EF (Е 1 F 1 E 2 F 2 ), требуется определить, лежит ли прямая в плоскости данного треугольника (фиг.242,а)?
Порядок проверки указан цифрами на (фиг.242,б):
1 - продолжаем отрезок E 2 F 2 ; в пересечении с прямыми В 2 А 2 и А 2 С 2 получаем точки Р 2 и Т 2 ;
2 - проводим через точки Р 2 и Т 2 вертикальные линии связи до пересечения с прямыми В 1 А 1 и А 1 С 1 получаем точки Р 1 и Т 1 ;
3 - проведем через точки Р 1 и T 1 прямую; в данном случае прямая сливается с отрезком E 1 F 1 следовательно, прямая РТ принадлежит плоскости треугольника, так как одноименные проекции точек Р и Т лежат на одноименных проекциях прямых ВА и АС , принадлежащих треугольнику, и на одной линии связи; следовательно, прямая EF принадлежит плоскости данного треугольника.

3. Плоскость

3.1. Способы задания плоскости на ортогональных чертежах

 Положение плоскости в пространстве определяется:

• тремя точками, не лежащими на одной прямой;
  
• прямой и точкой, взятой вне прямой;
  
• двумя пересекающимися прямыми;
  
• двумя параллельными прямыми;
  
• плоской фигурой.
  

• проекциями трёх точек, не лежащих на одной прямой (Рисунок 3.1,а);
  
• проекциями точки и прямой (Рисунок 3.1,б);
  
• проекциями двух пересекающихся прямых (Рисунок 3.1,в);
  
• проекциями двух параллельных прямых (Рисунок 3.1,г);
  
• плоской фигурой (Рисунок 3.1,д);
  
• следами плоскости;
  
• линией наибольшего ската плоскости.

Рисунок 3.1 - Способы задания плоскостей

Плоскость общего положения - это плоскость, которая не параллельна и не перпендикулярна ни одной из плоскостей проекций.
Следом плоскости называется прямая, полученная в результате пересечения заданной плоскости с одной из плоскостей проекций.

Плоскость общего положения может иметь три следа: горизонтальный απ1 , фронтальный απ2 и профильный απ3 , которые она образует при пересечении с известными плоскостями проекций: горизонтальной π1 , фронтальной π2 и профильной π3 (Рисунок 3.2).

Рисунок 3.2 - Следы плоскости общего положения

3.2. Плоскости частного положения

Плоскость частного положения - плоскость, перпендикулярная или параллельная плоскости проекций.

Плоскость, перпендикулярная плоскости проекций, называется проецирующей и на эту плоскость проекций она будет проецироваться в виде прямой линии.

Свойство проецирующей плоскости : все точки, линии, плоские фигуры, принадлежащие проецирующей плоскости, имеют проекции на наклонном следе плоскости  (Рисунок 3.3). 

Рисунок 3.3 - Фронтально-проецирующая плоскость,
которой принадлежат: точки A, B, C , линии AC, AB, BC ,
плоскость треугольника АВС

Горизонтально-проецирующая плоскость - плоскость, перпендикулярная горизонтальной плоскос ти проекций (Рисунок 3.4, б).

Фронтально-проецирующая плоскость - плоскость, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций (Рисунок 3.4, а).

Профильно-проецирующая плоскость - плоскость, перпендикулярная профильной плоскости проекций.

Плоскости, параллельные плоскостям проекций, называются плоскостями уровня или дважды проецирующими плоскостями .

Горизонтальная плоскость уровня - плоскость, параллельная горизонтальной плоскости проекций (Рисунок 3.4, г).

Фронтальная плоскость уровня - плоскость, параллельная фронтальной плоскости проекций (Рисунок 3.4, в).

Профильная плоскость уровня - плоскость, параллельная профильной плоскости проекций (Рисунок 3.4, д). 

Рисунок 3.4 - Эпюры плоскостей частного положения

3.3. Точка и прямая в плоскости

Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости  (Рисунок 3.5). 

Рисунок 3.5. Принадлежность точки плоскости

α = m // n
D ∈ n ⇒ D ∈ α

Рисунок 3.6. Принадлежность прямой плоскости

α = m // n
D ∈ α
С ∈ α ⇒ СD ∈ α

Упражнение

 Дана плоскость, заданная четырехугольником (Рисунок 3.7, а). Необходимо достроить горизонтальную проекцию вершины С . 

 а б
Рисунок 3.7 - Условие (а) и решение (б) задачи

Решение :

1. ABCD - плоский четырехугольник, задающий плоскость.
   
2. Проведём в нём диагонали AC и BD (Рисунок 3.7, б), которые являются пересекающимися прямыми, также задающими ту же плоскость.
   
3. Согласно признаку пересекающихся прямых, построим горизонтальную проекцию точки пересечения этих прямых K по её известной фронтальной проекции: A 2 C 2 ∩ B 2 D 2 =K 2 .
   
4. Восстановим линию проекционной связи до пересечения с горизонтальной проекцией прямой BD : на проекции диагонали B 1 D 1 строим К 1 .
   
5. Через А 1 К 1 проводим проекцию диагонали А 1 С 1 .
   
6. Точку С 1 получаем, посредством линии проекционной связи до пересечения её с горизонтальной проекцией продолженной диагонали А 1 К 1 .

Рисунок 3.8.а. Горизонтальная прямая уровня в плоскости, заданной треугольником

Фронталь или фронтальная прямая уровня f (вторая параллель ) - это прямая лежащая в данной плоскости и параллельная фронтальной плоскости проекций (π2 ) (Рисунок 3.8, б; 3.10).

 Рисунок 3.8.б. Фронтальная прямая уровня в плоскости, заданной треугольником

Профильная прямая уровня p (третья параллель ) - это прямая лежащая в данной плоскости и параллельная профильной плоскости проекций (π3 ) (Рисунок 3.8, в; 3.11).


 Рисунок 3.8 в - Профильная прямая уровня в плоскости, заданной треугольником 

Рисунок 3.9 - Горизонтальная прямая уровня в плоскости, заданной следами

Рисунок 3.10 - Фронтальная прямая уровня в плоскости, заданной следами

Рисунок 3.11 - Профильная прямая уровня в плоскости, заданной следами

3.5. Взаимное положение прямой и плоскости

Прямая по отношению к заданной плоскости может быть параллельной и может с ней иметь общую точку, то есть пересекаться.

3.5.1. Параллельность прямой плоскости

Признак параллельности прямой плоскости : прямая параллельна плоскости, если она параллельна любой прямой, принадлежащей этой  плоскости (Рисунок 3.19). 

Рисунок 3.19. Параллельность прямой плоскости

3.5.2. Пересечение прямой с плоскостью

Для построения линии пересечения прямой с плоскостью необходимо (Рисунок 3.20):

1. Заключить прямую а во вспомогательную плоскость β (в качестве вспомогательной плоскости следует выбирать плоскости частного положения);
   
2. Найти линию пересечения вспомогательной плоскости β с заданной плоскостью α;
   
3. Найти точку пересечения заданной прямой a с линией пересечения плоскостей MN .

Рисунок 3.20. Построение точки встречи прямой с плоскостью

Упражнение

Заданы: прямая АВ общего положения, плоскость σ ⊥ π1 (Рисунок 3.21). Построить точку пересечения прямой АВ с плоскостью σ.

Решение :

1. Плоскость σ - горизонтально-проецирующая, следовательно, горизонтальным следом σπ 1 (или σ 1 ) является прямая;
   
2. Точка К должна принадлежать прямой АВ ⇒ К 1 ∈ А 1 В 1 и заданной плоскости σ ⇒ К 1 ∈ σ 1 , следовательно, К 1 находится в точке пересечения проекций A 1 B 1 и σ 1 ;
   
3. Фронтальную проекцию точки К находим посредством линии проекционной связи: K 2 ∈ A 2 B 2 .

Рисунок 3.21. Пересечение прямой общего положения с плоскостью частного положения

Упражнение

Заданы: плоскость σ = ΔАВС - общего положения, прямая EF (Рисунок 3.22).
Требуется построить точку пересечения прямой EF с плоскостью σ.

А                     б
Рисунок 3.22. Пересечение прямой с плоскостью (а - модель, б - чертеж)

Решение :

1. Заключим прямую EF во вспомогательную плоскость, в качестве которой воспользуемся горизонтально-проецирующей плоскостью α (Рисунок 3.22, а);
   
2. Если α ⊥ π 1 , то на плоскость проекций π 1 плоскость α проецируется в прямую (горизонтальный след плоскости απ 1 или α 1 ), совпадающую с E 1 F 1 ;
   
3. Найдём прямую пересечения (1-2) проецирующей плоскости α с плоскостью σ (решение подобной задачи было рассмотрено ранее);
   
4. Прямая (1-2) и заданная прямая EF лежат в одной плоскости α и пересекаются в точке K .
   

3.6. Определение видимости методом конкурирующих точек

Рисунок 3.23. Метод конкурирующих точек

При оценке положения данной прямой, необходимо определить - точка какого участка прямой расположена ближе (дальше) к нам, как к наблюдателям, при взгляде на плоскость проекций π1 или π2 .

Точки, которые в пространстве принадлежат разным объектам, а на одной из плоскостей проекций их проекции совпадают (то есть, две точки проецируются в одну), называются конкурирующими на этой плоскости проекций .

Необходимо отдельно определить видимость на каждой плоскости проекций!

Видимость на π2

Выберем точки, конкурирующие на π2 - точки 3 и 4 (рисунок 3.23). Пусть точка 3 ∈ ВС ∈ σ, точка 4 ∈ EF .

Чтобы определить видимость точек на плоскости проекций π2 надо определить расположение этих точек на горизонтальной плоскости проекций при взгляде на π2 .

Направление взгляда на π2 показано стрелкой.

По горизонтальным проекциям точек 3 и 4, при взгляде на π2 , видно, что точка 41 располагается ближе к наблюдателю, чем 31 .

41 ∈ E 1 F 1 → 4 ∈ EF ⇒ на π2 будет видима точка 4, лежащая на прямой EF , следовательно, прямая EF на участке рассматриваемых конкурирующих точек расположена перед плоскостью σ и будет видима до точки K

Видимость на π1

Для определения видимости выберем точки, конкурирующие на π1 - точки 2 и 5.

Чтобы определить видимость точек на плоскости проекций π1 надо определить расположение этих точек на фронтальной плоскости проекций при взгляде на π1 .

Направление взгляда на π1 показано стрелкой.

По фронтальным проекциям точек 2 и 5, при взгляде на π1 , точка 22 располагается ближе к наблюдателю, чем 52 .

22 ∈ А 2 В 2 → 2 ∈ АВ ⇒ на π1 будет видима точка 2, лежащая на прямой АВ , следовательно, прямая EF на участке рассматриваемых конкурирующих точек расположена под плоскостью σ и будет невидима до точки K - пересечения прямой с плоскостью σ.

Видимой из двух конкурирующих точек будет та, у которой координата «Z » или(и) «Y » больше.

3.7. Перпендикулярность прямой плоскости

Признак перпендикулярности прямой плоскости : прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в данной плоскости.

Рисунок 3.24. Задание прямой, перпендикулярной плоскости

Если прямая перпендикулярна плоскости, то на эпюре: проекции прямой перпендикулярны наклонным проекциям горизонтали и фронтали, лежащих в плоскости, или следам плоскости (Рисунок 3.24).

1. Пусть прямая p перпендикулярна плоскости σ = Δ АВС и проходит через точку K .
2. Построим горизонталь и фронталь в плоскости σ = Δ АВС :
   A -1 ∈ σ; A -1 // π 1 ; С -2 ∈ σ; С -2 // π 2 .
3. Восстановим из точки K перпендикуляр к заданной плоскости:
   p 1 ⊥ h 1 и p 2 ⊥ f 2 .